000230000高等数学（工本）课程考试说明

000230000高等数学（工本）课程考试说明

一、本课程使用的教材、大纲

高等数学（工本）课程指定使用的教材为：

（1）《高等数学（工专）》（附大纲），全国高等教育自学考试指导委员会组编，吴纪桃、漆毅主编，北京大学出版社，2006年版；

（2）《高等数学（工本）》（附大纲），全国高等教育自学考试指导委员会组编，陈兆斗、高瑞主编，北京大学出版社，2006年版；

二、本课程的试卷题型结构及试题难易度

1．试卷题型结构表

2．试卷按识记、领会、简单应用、综合应用四个认知层次命制试题，四个认知层次在试卷中所占的比例大致分别为识记占20%，领会占30%，简单应用占30%，综合应用占20%。

3．试卷难易度大致可分为“容易、中等偏易、中等偏难、难”。根据课程的特点，试卷中不同难易度试题所占的分数比例大致依次为,易占30分，中等偏易占20分，中等偏难占30分，难占20分

三、各章内容分数的大致分布

四、各章内容的重、难点

1．高等数学（工专）教材部分：

第一章 函数

重点：函数概念（定义域、复合函数），函数的性质（有界性、单调性、奇偶性）；

难点：复合函数；

第二章 极限与连续

重点：极限运算及其各种方法（如：无理分式函数极限、分段函数在分段点处的极限、极限的四则运算法则、两个重要极限、常用等价无穷小量替换求极限），无穷小量的概念、性质及其阶的比较，函数连续性及间断点分类，闭区间上连续函数的性质（如：最值定理、零点定理）；

难点：两个重要极限及相应的各种变形形式；

第三章 导数与微分

重点：导数定义，导数的几何意义（求切线与法线），可导与连续的关系，各类函数求导（如：分段函数的导数，复合函数求导，参数式函数求导，隐函数求导），求高阶导数（简单函数的二阶导数）；微分概念及其计算。

难点：复合函数求导、隐函数的求导。

第四章 微分中值定理与导数的应用

重点：中值定理（特别是罗尔定理与拉格朗日中值定理的验证）；导数应用（如：洛必达法则求未定式极限，利用单调性证明不等式，证明方程根的唯一性，判定函数的单调性，凹凸性，求极值点、拐点，求实际问题中最值（几何、经济），求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。

难点：利用单调性证明不等式，证明方程根的唯一性。

第五章 一元函数积分学

重点：原函数与不定积分的概念，不定积分的计算；定积分的几何意义，定积分的计算（熟悉各类计算方法），积分上限函数及其导数，无穷限反常积分的敛散性判别，无穷限反常积分的计算；定积分应用（特别是面积与体积）。

难点：积分的计算，积分上限函数的导数。

2．高等数学（工本）教材部分

第一章 空间解析几何与向量代数

重点：两点间的距离，向量的运算（特别是线性运算，数量积）；向量的方向余弦，柱面，旋转曲面（抛物面、球面、锥面），求平面方程，求直线方程。

难点：空间曲面图形，求平面与直线方程。

第二章 多元函数微分学

重点：计算偏导数（含复合函数及隐函数的偏导数），计算简单函数的二阶偏导数，计算全微分，计算梯度，应用（求曲面的切平面与法线，求空间曲线的切线与法平面，无条件极值问题，实际问题求最值）。

难点：复合函数、隐函数偏导数的计算；多元函数极值及其应用。

第三章 重积分

重点：二重积分的几何意义（特别是计算平面图形的面积与曲顶柱体的体积），二重积分的物理意义（特别是计算质量），二重积分的计算（含直角坐标与简单极坐标），交换二次积分的次序。

难点：重积分化为累次积分时，积分限的确定。

第四章 曲线积分和曲面积分

重点：曲线积分的计算（积分曲线为直角坐标方程和参数方程的情形，还包括利用几何意义求曲线积分），格林公式，曲线积分与路径无关的条件；曲面积分的计算（利用几何意义求积分，利用高斯公式求积分）。

难点：曲线、曲面积分的计算。

第五章 常微分方程

重点：微分方程的相关概念（如：阶，解，通解，特解），求解一阶微分方程（主要包括：可分离变量方程，齐次方程，一阶线性微分方程），求解二阶常系数线性微分方程（包括齐次与简单非齐次）。

难点：二阶常系数线性非齐次微分方程的求解。

第六章 无穷级数

重点：常数项级数的性质（主要是必要性），二类重要级数（等比级数与级数），级数的敛散性的判别（用定义，用比较审敛法，用比值审敛法，用莱布尼兹审敛法）；幂级数的收敛半径与收敛区间，用间接法将函数展开成幂级数（牢记函数的展开式）。

难点：级数敛散性的判别，将函数展开成幂级数。

五、各题型试题范例及解题要求

1.单项选择题

解题要求：在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。

范例1：函数定义域是（  ）

A.(-∞，)              B.（-∞，0）∪（0，〕

C.（-∞，0）∪（0，）  D.（-∞，〕

答案B直接填入题干的括号内。

2.填空题

解题要求:直接将答案写在题中的“     ”上，不必写中间步骤。

范例2： =          

答案e⁴ 直接填写在“      ”上。

3.计算题

解题要求：必须有求解的关键步骤，不能只写答案。

范例3: 计算  

解：原式

范例4: 计算

解：


　　（令）

4.证明题

解题要求：必须有证明的依据，不能凭空得出结论。

范例4：证明方程在区间内有且仅有一实根.

证明: 设,

则在上连续, 且,

由零点定理,至少存在一点使得　,

即方程在区间内至少有一个实根.

再证唯一性

因为, 所以在内单调递增,

从而在内至多有一个实根.

综上，方程在区间内有且仅有一实根.

5.综合题

解题要求：必须有证明的依据或计算的关键步骤，不能凭空得出结论或得出计算结果。

范例5：求曲线的单调区间、极值、凹凸区间与拐点。

解：定义域为     ，令得驻点，

当时，，即曲线单调增加；故单增区间为

当或时，，即曲线单调减少；

故单减区间为和 

显然，为极小值点，极小值；

为极大值点，极大值。  

 又，令  得 

当，时，，故凸区间为和

当，时，，故凹区间为 和

显然， ，，为曲线的拐点.

六、考试注意事项

本课程考试方式为闭卷、笔试，考试时间为150分钟。考生参加考试时只容许携带钢笔、签字笔、圆珠笔、铅笔、橡皮等文具用品，不容许带计算器、有关参考书等。