04184线性代数课程考试说明

04184线性代数课程考试说明

一、本课程使用的教材、大纲
线性代数课程指定使用的教材为《线性代数（经管类）（附大纲）》，全国高等教育自学考试指导委员会组编，刘吉佑、徐诚浩主编，武汉大学出版社，2006版。

二、本课程的试卷题型结构及试题难易度
１．题型结构表

２．试卷按识记、领会、简单应用、综合应用四个认知层次命制试题，四个认知层次在试卷中所占的比例大致分别为识记占20％、领会占30％、简单应用占30％、综合应用占20％。

３．试卷难易程度大致分为“容易、中等偏易、中等偏难、难”。根据课程特点，每份试卷中，不同难易度试题所占的分数比例大致依次为易占30分、中等偏易占30分、中等偏难占30分、难占10分。

三、各章内容分数的大致分布

按大纲要求，并根据课程各章内容对后续课程学习的重要性和知识点的分布情况，各章内容分数的分布大致如下表：

四、各章内容的重、难点

本课程的基本要求和重点：

㈠基本要求：

⑴理解行列式的性质，会计算行列式；

⑵熟练掌握矩阵的各种运算；

⑶会判别向量组的线性相关性与线性无关性，理解向量组的秩和矩阵的秩的概念及其关系；

⑷掌握线性方程组的解的结构和求解方法；

⑸会求实方阵的特征值和特征向量，理解方阵可对角化的条件，掌握方阵对角化的计算方法；

⑹了解实二次型概念和正定二次型的判别方法。

本课程的重点是行列式计算、矩阵运算和解线性方程组。

考生在自学过程中，要切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法。通过做相当数量的练习，具有比较熟练的运算能力。同时培养抽象思维能力和逻辑推理能力，并不断提高自学能力。

㈡各章的重和点、难点如下：

第一章 行列式

重点：行列式的性质与计算。

难点：n 阶行列式的计算。

要求掌握如下内容：

熟练计算二阶与三阶行列式；行列式中元素的余子式和代数余子式的定义；行列式展开的递归定义；三角行列式的计算公式；行列式的性质与计算；行列式的基本计算方法；低阶范德蒙德行列式的计算；克拉默法则及其求解简单的线性方程组。

第二章 矩阵

重点：矩阵运算及逆矩阵的求法，矩阵的初等变换。

难点：逆矩阵的求法及矩阵的秩的概念。

要求掌握如下内容：

矩阵以及特殊矩阵如三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵和零矩阵的定义。矩阵与行列式的区别。矩阵运算及其运算规律。会用方阵行列式、转置的定义和转置的运算律、对称矩阵和反对称矩阵。会计算方阵的逆矩阵以及方阵可逆条件和求逆运算律、伴随矩阵的定义和两个基本结论、会用伴随矩阵求二阶和三阶矩阵的逆矩阵、会解矩阵方程。理解分块矩阵运算、会求准对角矩阵的逆矩阵和准三角矩阵的行列式。会对矩阵的进行初等变换、初等方阵定义及其逆、矩阵等价的概念和矩阵的等价标准形、会用矩阵的初等行变换求逆矩阵。矩阵的秩和满秩的定义及其性质、会求矩阵的秩和阶梯形矩阵。

第三章 向量空间

重点：线性组合系数的求法；向量组线性相关和线性无关的定义及其判别法；求向量组的秩。

难点：向量组线性相关和线性无关的判别法；向量组秩的概念。

要求掌握如下内容：

n 维向量的定义与向量组的线性组合。理解向量组线性相关和线性无关的定义，掌握线性相关系数的方法(解齐次线性方程组)。理解两个向量组等价的概念、极大线性无关组的定义及其与原向量组的等价关系、会求向量组的极大线性无关组。知道矩阵的行秩与列秩的定义及其与矩阵的秩的关系、矩阵的秩的重要结论。知道向量空间及其子空间的定义、基和维数的概念、会求向量在某个基下的坐标。

第四章 线性方程组

重点：齐次线性方程组有非零解的充要条件；会用矩阵的初等行变换求解线性方程组。

难点：齐次线性方程组的基础解系的求法。非齐次线性方程组有解的充要条件。

要求掌握如下内容：

理解齐次线性方程组Ax=b有非零解的充要条件，以及Ax=b解的性质、解空间的概念。掌握用矩阵初等行变换求齐次线性方程组的基础解系的方法；会写出方程组的通解。理解非齐次线性方程组有解的判别定理。掌握非齐次线性方程组有惟一解，有无穷多解的判别方法。会讨论含参数的非齐次线性方程组的求解问题。非齐次线性方程组解的性质、解的结构和通解的求法。

第五章 特征值和特征向量

重点：求实方阵的特征值和特征向量；方阵可相似对角化的条件和方法；方阵的相似对角化；实对称矩阵的正交相似对角化。

难点：方阵与实对称矩阵的相似标准形的求法。

要求掌握如下内容：

理解实方阵的特征值和特征向量的定义，计算方法。熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的条件；会计算向量的内积、单位化。会判定两个非零向量是否正交、知道准正交向量组的定义及其线性无关性、施密特正交化方法。正交矩阵的定义及其性质。知道实对称矩阵的特征值和特征向量的性质、实对称矩阵必正交相似于对角矩阵。会求实对称矩阵的正交相似标准形。

第六章 实二次型

重点：化二次型为标准形以及正定二次型和正定矩阵的判别方法。

难点：用正交变换化二次型为标准形。

要求掌握如下内容：

实二次型的定义及其矩阵表示、标准形、合同。掌握用正交变换化实二次型为标准形的方法。知道用配方法。知道惯性定理，知道二次型的秩及二次型的正、负惯性指数、知道二次型的规范形。掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法。

五、各题型试题范例及解题要求

1．单项选择题：

例：行列式的元素的代数余子式为（　A　）

A.-54        B.-31         C.31       D.54    

说明：错选、不选或多选不得分

2．填空题：

例：已知，则___________。

答案：

说明：将最简的或最后结果直接填在题中的空格上。

3．计算题：

例：求解非齐次线性方程组：.

解：对系数的增广矩阵施行行变换：

                              1分

                         2分

即得                                       1分

亦即(k为任意常数)                   2分

说明：1.关键步骤不可缺失。

2.增广矩阵施行行变换化为阶梯型而非最简形，然后写出同解方程组并求解正确不扣分；通解表达式不唯一，正确者不扣分；若增广矩阵施行行变换不错误，而按所化结果求解方程组无误者，并且难度又没有降低者，因其对考查的知识点已掌握，可给2分。

3.用其他方法，如代入法等求解可参照以上标准判分。

4．证明题：

例：若线性无关，证明以下向量组线性无关：

.

证明：设，                          1分

将已知条件代入得

           1分

因为线性无关，所以

                   2分

从而得，这就证明了线性无关。   1分

说明：证明必须以教材中定义、定理、性质为依据，不得直接引用其他中间结论。本题采用其他证法，如写成矩阵乘积后证明等，可参照以上标准判分。

六、考试注意事项

本课程考试方式为闭卷、笔试，考试时间为150分钟。考生参加考试时只允许携带钢笔、签字笔、圆珠笔、铅笔、橡皮等文具，不允许带计算器、有关参考书等。