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高纲0926 江苏省高等教育自学考试大纲 02009 抽象代数 江苏教育学院编 江苏省高等教育自学考试委员会办公室 一、 课程性质、目的和要求 抽象代数即近世代数是现代数学的一个重要分支，是研究多种代数结构的一门学科。它是现代科学各个分支的基础，而且随着科学技术的不断进步，特别是计算机的发展与推广，近世代数的思想、理论与方法的应用越来越广泛。它的思想方法已经渗透到数学的多个分支，它的结果已应用到众多学科领域，它的内容对中学代数教学有指导意义。本课程是师范院校数学专业学生的必修课，也是教师本科自考的必考课程。近世代数的内容丰富，在本科阶段不可能全部掌握，根据所选教材，要求考生在学习本课程中，掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法，使学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维能力和逻辑推理能力，提高数学修养与技巧，以便能深入理解中学代数的内容和方法，为进一步学习其它学科创造条件。 课程内容包括：基本概念；群；环；整环里的因子分解。 二、 课程内容与考核要求 第一章 基本概念 本章中介绍的一些基本概念是数学各个分支的基础，也是学习本课程各个代数体系的必备知识。其主要内容有 1．集合的概念与运算 2．映射的定义与几种特殊映射的性质 3．卡氏积与代数运算 4．等价关系与集合的分类 考试要求： 掌握集合的概念与运算，掌握集合的交、并、集合 的幂集的定义及表示，熟练掌握习题7、8的结论；了解映射的定义与几种特殊映射的性质，掌握映射的合成，熟练掌握定理1.6及习题2、6的结论；掌握代数运算的定义与判定方法, 熟练掌握习题2；掌握等价关系与集合的分类的定义及相关性质，能够由等价关系得出集合分类，并能正确给出商集，熟练掌握习题5、6。 第二章 群 群是具有一种代数运算的代数体系，即具有一个代数运算的集合，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支。其主要内容有 1．半群的定义及性质 2．群的定义及等价条件 3．元素阶的定义及性质 4．循环群的定义及结构 5．子群及判定条件 6．变换群 7．群的同态与同构、Cayley定理 8．子群的陪集、Lagrange定理 9．正规子群与商群、正规子群的等价条件 10．同态基本定理与同构定理 考试要求： 掌握半群的定义及定理2.1、定理2.2、定理2.3、定理2.4的结论；掌握群的定义及性质，如定理2.5、定理2.6及推论； 熟练掌握群的一些重要例子，如例1、例3、例4、例7，熟练掌握习题2、3、6、9；掌握元素阶的定义及相关重要性质，如定理2.8、定理2.9、定理2.10，熟练掌握例1、例2；熟练掌握循环群的定义、构造及性质，如定理2.11、定理2.12、定理2.13及推论1、推论2, 熟练掌握例5、例6及习题2、3、5、8、9；熟练掌握子群的定义及性质，如定理2.14、定理2.16、定理2.21及例3、例5、习题2、4、5； 掌握变换群的概念及有关结论，熟练掌握次对称群、循环置换的概念及性质，特别是3次、4次对称群元素的表示、运算及性质，如定理2.23、定理2.24、定理2.25、定理2.27、例4及习题4；掌握群的同态、同构的定义、性质以及Cayley定理及定理2.28、定理2.30，会求同态象与同态核，掌握习题1、2；掌握子群陪集的概念及性质，熟练掌握Lagrange定理及及其推论1、推论2、例5、例6，熟练掌握习题2、3、 4、5；掌握正规子群的定义及等价命题定理2.40, 能够正确判定子群与正规子群, 掌握例1、例2、例4、例6、例7的结论及习题2、3、6，正确掌握商群的概念及性质（推论）；掌握并正确使用同态基本定理，熟练掌握复习题二中的第2、4题。 第三章 环 环是具有两中代数运算的代数体系，它也是近世代数中的一个重要分支。其主要内容有 1. 环的定义；整环、除环、域的定义及性质 2. 子环及判定条件 3. 环的同态与同构 4. 理想与商环 5. 素理想与极大理想 6. 商域 7. 多项式环 8. 扩域 9. 有限域 考试要求: 熟练掌握环、整环、除环、域的概念及相关命题：定理3.1及推论、定理3.2、定理3.3、定理3.4及推论。熟练掌握几个重要环的例子，如例1、例2、例3、例5、例7、例9、例10，掌握环的单位元、零因子的定义及性质，熟练掌握习题5、9、10、11；掌握子环、子域的概念以及判定定理3.5、定理3.6，掌握例1、例4、例6， 需要注意：子环与环在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不一定一致；掌握环的同态与同构的定义及相关性质（定理3.10、定理3.11），会求同态象与同态核，需要注意：当与满同态时，与在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致；熟练掌握习题2、3；掌握理想与商环的概念及相关命题（定理3.14、定理3.17及推论、定理3.18）； 熟练掌握主理想的构造（推论1），熟练掌握例2、例5、例6、例7、例8及习题1、2、4、7；正确应用同态基本定理及同构定理; 掌握素理想与极大理想的定义、判定方法及相关命题（定理3.22、定理3.23及推论），熟练掌握例1、例2、例3、例4、例5及习题1、2、3；了解商域及多项式环的构造；了解域的研究方法，掌握代数元的极小多项式的性质及求法，掌握有限扩域的概念及定理3.35。 第四章 整环里的因子分解 在整数环中，每个不等于的非零整数都能分解成有限个素数的乘积，而且除了因数次序和的因数差别外，分解是惟一的。同样，在数域上的一元多项式环中，每个次数的多项式都能分解成有限个不可约多项式的乘积，而且除了因子次序和零次因式的差别外，分解是惟一的。在这一章里，我们将对一般的整环讨论元素分解的理论，给出整环中因子分解惟一性定理成立的一些条件，并介绍几种惟一分解定理成立的整环。其主要内容有 1. 不可约元、素元、最大公因子 2. 惟一分解环 3. 主理想环 4. 欧氏环 5. 惟一分解环上的一元多项式环 6. 因子分解与多项式的根 考试要求: 掌握整环中的单位、相伴、真因子、不可约元、素元、最大公因子的概念及其性质，熟练掌握例1、例2及习题2、3、4；掌握惟一分解元、惟一分解环的定义及其性质，熟练掌握例1及习题1；熟练掌握主理想环的概念及主理想环的例子，如：整数环、域上的一元多项式环，知道整数环上的一元多项式环不是主理想环，掌握定理4.14、定理4.15、定理4.16及其习题4、5；熟练掌握欧氏环的定义及欧氏环的例子，如：整数环、高斯(Gauss)整数环、域、域上的一元多项式环，掌握定理4.17、定理4.18；掌握惟一分解环上的一元多项式环也是惟一分解环；了解因式分解与多项式的根的概念及其性质，掌握例子及习题1、2、3。 三、 有关说明 （一）教材： 自学教材：1、《近世代数》，朱平天主编，科学出版社，2001年版；2、《抽象代数基础》，李克正主编，清华大学出版社，2007年。 教材1可作为应考者复习应考的主要参考教材，教材2可作为应考者补充和提高抽象代数知识的主要参考。本课程考试命题以大纲为依据。 其他参考书目： 《近世代数基础》，张禾瑞编，人民教育出版社, 1984年版。 （二）自学方法的指导 本课程作为一门专业课程，内容抽象，综合性强，自学者在自学过程中应该注意以下几点： 1．本课程在学生具备初等代数、高等代数知识的基础上，系统地学习群、环、域的基础知识。因此，自学前，要注意知识的积累与衔接。应仔细阅读课程考试大纲，了解课程的性质、地位和要求，熟悉掌握课程的基本内容，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。 2．所配教材是自学的主要依据，自学时应结合教材及课程考试大纲和参考书目，熟练掌握基本概念和方法的同时，能结合具体例子进行练习和运用，以达到本课程的要求。 （三）对社会助学的要求 1．应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章节的知识点。 2．对考生进行辅导时，主要以指定的教材为主，同时以考试大纲为依据，关注补充参考书目，注重提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，增强数学修养与技巧，提高解决问题的能力。 （四）关于命题和考试的若干规定 1．本大纲各章节所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到各章节，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。 2．试题难度结构合理，记忆、理解、综合性试题比例大致为4：4：2。 3．本课程考试试卷可能采用的题型有：填空题、判断改错题、计算简答题、证明题（见附件题型示例）。 4．考试方式为闭卷笔试，考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格。 附录 题型举例 一、填空题 例 设是12阶循环群，则的生成元集合为 ． 二、判断改错题（若不正确请改正或说明理由） 例 设，，则是上的代数运算． （ ） 理由： 对于不封闭． 三、计算简答题 例 找出整数环的所有素理想和极大理想． 解： 整数环的所有素理想有： （３分） 由于整数环是有单位元的交换环，所以它的极大理想都是素理想， 因此，整数环的所有极大理想有：． （２分） 四、证明题 例 在整数环上的一元多项式环中，证明：不是主理想． 证明：因为一元多项式环是有单位元的交换环，所以
即 是由中常数项为偶数的多项式所组成． (2分) 若是主理想，则存在，使 于是 ， ． 即 ， ， 因此，由，得 ． (4分) 再由，得 ． 于是 矛盾． 因此， 不是主理想． (2分)
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